3.363 \(\int \sec ^3(c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{5/2} (A+B \sec (c+d x)) \, dx\)

Optimal. Leaf size=566 \[ -\frac{2 (a-b) \sqrt{a+b} \left (-15 a^2 b^2 (121 A-19 B)-a^3 (110 A b-30 b B)+40 a^4 B+6 a b^3 (209 A-505 B)-3 b^4 (539 A-225 B)\right ) \cot (c+d x) \sqrt{\frac{b (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{-\frac{b (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} \text{EllipticF}\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sec (c+d x)}}{\sqrt{a+b}}\right ),\frac{a+b}{a-b}\right )}{3465 b^3 d}-\frac{2 \left (-8 a^2 B+22 a A b-81 b^2 B\right ) \tan (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{5/2}}{693 b^2 d}-\frac{2 \left (110 a^2 A b-40 a^3 B-335 a b^2 B-539 A b^3\right ) \tan (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{3/2}}{3465 b^2 d}-\frac{2 \left (110 a^3 A b-285 a^2 b^2 B-40 a^4 B-1254 a A b^3-675 b^4 B\right ) \tan (c+d x) \sqrt{a+b \sec (c+d x)}}{3465 b^2 d}+\frac{2 (a-b) \sqrt{a+b} \left (-3069 a^2 A b^3+110 a^4 A b-255 a^3 b^2 B-40 a^5 B-3705 a b^4 B-1617 A b^5\right ) \cot (c+d x) \sqrt{\frac{b (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{-\frac{b (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sec (c+d x)}}{\sqrt{a+b}}\right )|\frac{a+b}{a-b}\right )}{3465 b^4 d}+\frac{2 (11 A b-4 a B) \tan (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{7/2}}{99 b^2 d}+\frac{2 B \tan (c+d x) \sec (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{7/2}}{11 b d} \]

[Out]

(2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(110*a^4*A*b - 3069*a^2*A*b^3 - 1617*A*b^5 - 40*a^5*B - 255*a^3*b^2*B - 3705*a*b^4*B)*C
ot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]
))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3465*b^4*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a*b^3*(209*A - 5
05*B) - 3*b^4*(539*A - 225*B) - 15*a^2*b^2*(121*A - 19*B) + 40*a^4*B - a^3*(110*A*b - 30*b*B))*Cot[c + d*x]*El
lipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sq
rt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3465*b^3*d) - (2*(110*a^3*A*b - 1254*a*A*b^3 - 40*a^4*B - 285*a^2*b^2*
B - 675*b^4*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*b^2*d) - (2*(110*a^2*A*b - 539*A*b^3 - 40*a^3*B -
335*a*b^2*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(3465*b^2*d) - (2*(22*a*A*b - 8*a^2*B - 81*b^2*B)*(a + b
*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*(11*A*b - 4*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/
(99*b^2*d) + (2*B*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(11*b*d)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.78437, antiderivative size = 566, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 6, integrand size = 33, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.182, Rules used = {4033, 4082, 4002, 4005, 3832, 4004} \[ -\frac{2 \left (-8 a^2 B+22 a A b-81 b^2 B\right ) \tan (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{5/2}}{693 b^2 d}-\frac{2 \left (110 a^2 A b-40 a^3 B-335 a b^2 B-539 A b^3\right ) \tan (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{3/2}}{3465 b^2 d}-\frac{2 \left (110 a^3 A b-285 a^2 b^2 B-40 a^4 B-1254 a A b^3-675 b^4 B\right ) \tan (c+d x) \sqrt{a+b \sec (c+d x)}}{3465 b^2 d}-\frac{2 (a-b) \sqrt{a+b} \left (-15 a^2 b^2 (121 A-19 B)-a^3 (110 A b-30 b B)+40 a^4 B+6 a b^3 (209 A-505 B)-3 b^4 (539 A-225 B)\right ) \cot (c+d x) \sqrt{\frac{b (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{-\frac{b (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sec (c+d x)}}{\sqrt{a+b}}\right )|\frac{a+b}{a-b}\right )}{3465 b^3 d}+\frac{2 (a-b) \sqrt{a+b} \left (-3069 a^2 A b^3+110 a^4 A b-255 a^3 b^2 B-40 a^5 B-3705 a b^4 B-1617 A b^5\right ) \cot (c+d x) \sqrt{\frac{b (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{-\frac{b (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sec (c+d x)}}{\sqrt{a+b}}\right )|\frac{a+b}{a-b}\right )}{3465 b^4 d}+\frac{2 (11 A b-4 a B) \tan (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{7/2}}{99 b^2 d}+\frac{2 B \tan (c+d x) \sec (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{7/2}}{11 b d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]),x]

[Out]

(2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(110*a^4*A*b - 3069*a^2*A*b^3 - 1617*A*b^5 - 40*a^5*B - 255*a^3*b^2*B - 3705*a*b^4*B)*C
ot[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]
))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3465*b^4*d) - (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(6*a*b^3*(209*A - 5
05*B) - 3*b^4*(539*A - 225*B) - 15*a^2*b^2*(121*A - 19*B) + 40*a^4*B - a^3*(110*A*b - 30*b*B))*Cot[c + d*x]*El
lipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]/Sqrt[a + b]], (a + b)/(a - b)]*Sqrt[(b*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sq
rt[-((b*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b))])/(3465*b^3*d) - (2*(110*a^3*A*b - 1254*a*A*b^3 - 40*a^4*B - 285*a^2*b^2*
B - 675*b^4*B)*Sqrt[a + b*Sec[c + d*x]]*Tan[c + d*x])/(3465*b^2*d) - (2*(110*a^2*A*b - 539*A*b^3 - 40*a^3*B -
335*a*b^2*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(3/2)*Tan[c + d*x])/(3465*b^2*d) - (2*(22*a*A*b - 8*a^2*B - 81*b^2*B)*(a + b
*Sec[c + d*x])^(5/2)*Tan[c + d*x])/(693*b^2*d) + (2*(11*A*b - 4*a*B)*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/
(99*b^2*d) + (2*B*Sec[c + d*x]*(a + b*Sec[c + d*x])^(7/2)*Tan[c + d*x])/(11*b*d)

Rule 4033

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
(B_.) + (A_)), x_Symbol] :> -Simp[(B*d^2*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(
b*f*(m + n)), x] + Dist[d^2/(b*(m + n)), Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n - 2)*Simp[a*B*(n - 2)
+ B*b*(m + n - 1)*Csc[e + f*x] + (A*b*(m + n) - a*B*(n - 1))*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e,
f, A, B, m}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 1] && NeQ[m + n, 0] &&  !IGtQ[m, 1]

Rule 4082

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_
.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> -Simp[(C*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1))/(b*f*(m
+ 2)), x] + Dist[1/(b*(m + 2)), Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*Simp[b*A*(m + 2) + b*C*(m + 1) + (b*B*
(m + 2) - a*C)*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

Rule 4002

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))
, x_Symbol] :> -Simp[(B*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m)/(f*(m + 1)), x] + Dist[1/(m + 1), Int[Csc[e + f*x
]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*Simp[b*B*m + a*A*(m + 1) + (a*B*m + A*b*(m + 1))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; Fr
eeQ[{a, b, A, B, e, f}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 0]

Rule 4005

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_)))/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)
], x_Symbol] :> Dist[A - B, Int[Csc[e + f*x]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Dist[B, Int[(Csc[e + f*x]*(1 +
Csc[e + f*x]))/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[A
^2 - B^2, 0]

Rule 3832

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[(-2*Rt[a + b, 2]*Sqr
t[(b*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Csc[e + f*x]))/(a - b))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Csc[e +
f*x]]/Rt[a + b, 2]], (a + b)/(a - b)])/(b*f*Cot[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 4004

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_)))/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)
], x_Symbol] :> Simp[(-2*(A*b - a*B)*Rt[a + (b*B)/A, 2]*Sqrt[(b*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[-((b*(1 + Cs
c[e + f*x]))/(a - b))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/Rt[a + (b*B)/A, 2]], (a*A + b*B)/(a*A - b*B)]
)/(b^2*f*Cot[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[A^2 - B^2, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \sec ^3(c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{5/2} (A+B \sec (c+d x)) \, dx &=\frac{2 B \sec (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{7/2} \tan (c+d x)}{11 b d}+\frac{2 \int \sec (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{5/2} \left (a B+\frac{9}{2} b B \sec (c+d x)+\frac{1}{2} (11 A b-4 a B) \sec ^2(c+d x)\right ) \, dx}{11 b}\\ &=\frac{2 (11 A b-4 a B) (a+b \sec (c+d x))^{7/2} \tan (c+d x)}{99 b^2 d}+\frac{2 B \sec (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{7/2} \tan (c+d x)}{11 b d}+\frac{4 \int \sec (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{5/2} \left (\frac{1}{4} b (77 A b-10 a B)-\frac{1}{4} \left (22 a A b-8 a^2 B-81 b^2 B\right ) \sec (c+d x)\right ) \, dx}{99 b^2}\\ &=-\frac{2 \left (22 a A b-8 a^2 B-81 b^2 B\right ) (a+b \sec (c+d x))^{5/2} \tan (c+d x)}{693 b^2 d}+\frac{2 (11 A b-4 a B) (a+b \sec (c+d x))^{7/2} \tan (c+d x)}{99 b^2 d}+\frac{2 B \sec (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{7/2} \tan (c+d x)}{11 b d}+\frac{8 \int \sec (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{3/2} \left (\frac{3}{8} b \left (143 a A b-10 a^2 B+135 b^2 B\right )-\frac{1}{8} \left (110 a^2 A b-539 A b^3-40 a^3 B-335 a b^2 B\right ) \sec (c+d x)\right ) \, dx}{693 b^2}\\ &=-\frac{2 \left (110 a^2 A b-539 A b^3-40 a^3 B-335 a b^2 B\right ) (a+b \sec (c+d x))^{3/2} \tan (c+d x)}{3465 b^2 d}-\frac{2 \left (22 a A b-8 a^2 B-81 b^2 B\right ) (a+b \sec (c+d x))^{5/2} \tan (c+d x)}{693 b^2 d}+\frac{2 (11 A b-4 a B) (a+b \sec (c+d x))^{7/2} \tan (c+d x)}{99 b^2 d}+\frac{2 B \sec (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{7/2} \tan (c+d x)}{11 b d}+\frac{16 \int \sec (c+d x) \sqrt{a+b \sec (c+d x)} \left (\frac{3}{16} b \left (605 a^2 A b+539 A b^3-10 a^3 B+1010 a b^2 B\right )-\frac{3}{16} \left (110 a^3 A b-1254 a A b^3-40 a^4 B-285 a^2 b^2 B-675 b^4 B\right ) \sec (c+d x)\right ) \, dx}{3465 b^2}\\ &=-\frac{2 \left (110 a^3 A b-1254 a A b^3-40 a^4 B-285 a^2 b^2 B-675 b^4 B\right ) \sqrt{a+b \sec (c+d x)} \tan (c+d x)}{3465 b^2 d}-\frac{2 \left (110 a^2 A b-539 A b^3-40 a^3 B-335 a b^2 B\right ) (a+b \sec (c+d x))^{3/2} \tan (c+d x)}{3465 b^2 d}-\frac{2 \left (22 a A b-8 a^2 B-81 b^2 B\right ) (a+b \sec (c+d x))^{5/2} \tan (c+d x)}{693 b^2 d}+\frac{2 (11 A b-4 a B) (a+b \sec (c+d x))^{7/2} \tan (c+d x)}{99 b^2 d}+\frac{2 B \sec (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{7/2} \tan (c+d x)}{11 b d}+\frac{32 \int \frac{\sec (c+d x) \left (\frac{3}{32} b \left (1705 a^3 A b+2871 a A b^3+10 a^4 B+3315 a^2 b^2 B+675 b^4 B\right )-\frac{3}{32} \left (110 a^4 A b-3069 a^2 A b^3-1617 A b^5-40 a^5 B-255 a^3 b^2 B-3705 a b^4 B\right ) \sec (c+d x)\right )}{\sqrt{a+b \sec (c+d x)}} \, dx}{10395 b^2}\\ &=-\frac{2 \left (110 a^3 A b-1254 a A b^3-40 a^4 B-285 a^2 b^2 B-675 b^4 B\right ) \sqrt{a+b \sec (c+d x)} \tan (c+d x)}{3465 b^2 d}-\frac{2 \left (110 a^2 A b-539 A b^3-40 a^3 B-335 a b^2 B\right ) (a+b \sec (c+d x))^{3/2} \tan (c+d x)}{3465 b^2 d}-\frac{2 \left (22 a A b-8 a^2 B-81 b^2 B\right ) (a+b \sec (c+d x))^{5/2} \tan (c+d x)}{693 b^2 d}+\frac{2 (11 A b-4 a B) (a+b \sec (c+d x))^{7/2} \tan (c+d x)}{99 b^2 d}+\frac{2 B \sec (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{7/2} \tan (c+d x)}{11 b d}-\frac{\left (110 a^4 A b-3069 a^2 A b^3-1617 A b^5-40 a^5 B-255 a^3 b^2 B-3705 a b^4 B\right ) \int \frac{\sec (c+d x) (1+\sec (c+d x))}{\sqrt{a+b \sec (c+d x)}} \, dx}{3465 b^2}-\frac{\left ((a-b) \left (6 a b^3 (209 A-505 B)-3 b^4 (539 A-225 B)-15 a^2 b^2 (121 A-19 B)+40 a^4 B-a^3 (110 A b-30 b B)\right )\right ) \int \frac{\sec (c+d x)}{\sqrt{a+b \sec (c+d x)}} \, dx}{3465 b^2}\\ &=\frac{2 (a-b) \sqrt{a+b} \left (110 a^4 A b-3069 a^2 A b^3-1617 A b^5-40 a^5 B-255 a^3 b^2 B-3705 a b^4 B\right ) \cot (c+d x) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sec (c+d x)}}{\sqrt{a+b}}\right )|\frac{a+b}{a-b}\right ) \sqrt{\frac{b (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{-\frac{b (1+\sec (c+d x))}{a-b}}}{3465 b^4 d}-\frac{2 (a-b) \sqrt{a+b} \left (6 a b^3 (209 A-505 B)-3 b^4 (539 A-225 B)-15 a^2 b^2 (121 A-19 B)+40 a^4 B-a^3 (110 A b-30 b B)\right ) \cot (c+d x) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sec (c+d x)}}{\sqrt{a+b}}\right )|\frac{a+b}{a-b}\right ) \sqrt{\frac{b (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt{-\frac{b (1+\sec (c+d x))}{a-b}}}{3465 b^3 d}-\frac{2 \left (110 a^3 A b-1254 a A b^3-40 a^4 B-285 a^2 b^2 B-675 b^4 B\right ) \sqrt{a+b \sec (c+d x)} \tan (c+d x)}{3465 b^2 d}-\frac{2 \left (110 a^2 A b-539 A b^3-40 a^3 B-335 a b^2 B\right ) (a+b \sec (c+d x))^{3/2} \tan (c+d x)}{3465 b^2 d}-\frac{2 \left (22 a A b-8 a^2 B-81 b^2 B\right ) (a+b \sec (c+d x))^{5/2} \tan (c+d x)}{693 b^2 d}+\frac{2 (11 A b-4 a B) (a+b \sec (c+d x))^{7/2} \tan (c+d x)}{99 b^2 d}+\frac{2 B \sec (c+d x) (a+b \sec (c+d x))^{7/2} \tan (c+d x)}{11 b d}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 26.5934, size = 4227, normalized size = 7.47 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Sec[c + d*x]^3*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Sec[c + d*x]),x]

[Out]

(Cos[c + d*x]^2*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)*((2*(-110*a^4*A*b + 3069*a^2*A*b^3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*B + 255*a^
3*b^2*B + 3705*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(3465*b^3) + (2*Sec[c + d*x]^4*(11*A*b^2*Sin[c + d*x] + 23*a*b*B*Sin[c +
d*x]))/99 + (2*Sec[c + d*x]^3*(209*a*A*b*Sin[c + d*x] + 113*a^2*B*Sin[c + d*x] + 81*b^2*B*Sin[c + d*x]))/693
+ (2*Sec[c + d*x]^2*(825*a^2*A*b*Sin[c + d*x] + 539*A*b^3*Sin[c + d*x] + 15*a^3*B*Sin[c + d*x] + 1145*a*b^2*B*
Sin[c + d*x]))/(3465*b) + (2*Sec[c + d*x]*(55*a^3*A*b*Sin[c + d*x] + 1793*a*A*b^3*Sin[c + d*x] - 20*a^4*B*Sin[
c + d*x] + 1025*a^2*b^2*B*Sin[c + d*x] + 675*b^4*B*Sin[c + d*x]))/(3465*b^2) + (2*b^2*B*Sec[c + d*x]^4*Tan[c +
d*x])/11))/(d*(b + a*Cos[c + d*x])^2) - (2*((2*a^4*A)/(63*b*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (3
1*a^2*A*b)/(35*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (7*A*b^3)/(15*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[
c + d*x]]) - (17*a^3*B)/(231*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (8*a^5*B)/(693*b^2*Sqrt[b + a*Cos[
c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (247*a*b^2*B)/(231*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (124*a^3*A*S
qrt[Sec[c + d*x]])/(315*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^5*A*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(63*b^2*Sqrt[b + a*Cos[c + d*
x]]) + (38*a*A*b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(105*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]) - (8*a^6*B*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(693*b^3*
Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]) - (7*a^4*B*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(99*b*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]) - (26*a^2*b*B*Sqrt[Se
c[c + d*x]])/(231*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]) + (15*b^3*B*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(77*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]) - (3
1*a^3*A*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(35*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]) + (2*a^5*A*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Se
c[c + d*x]])/(63*b^2*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]) - (7*a*A*b^2*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*Sqrt[b +
a*Cos[c + d*x]]) - (8*a^6*B*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(693*b^3*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]) - (17*a^4*
B*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*b*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]) - (247*a^2*b*B*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[S
ec[c + d*x]])/(231*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]))*Sqrt[Cos[(c + d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]]*(a + b*Sec[c + d*x])^(5/2)
*(2*(a + b)*(-110*a^4*A*b + 3069*a^2*A*b^3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*B + 255*a^3*b^2*B + 3705*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c
+ d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticE[ArcSin[Tan[(c + d
*x)/2]], (a - b)/(a + b)] - 2*b*(a + b)*(40*a^4*B - 10*a^3*b*(11*A + 3*B) + 15*a^2*b^2*(121*A + 19*B) + 3*b^4*
(539*A + 225*B) + 6*a*b^3*(209*A + 505*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/((a
+ b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (a - b)/(a + b)] + (-110*a^4*A*b + 3069*a^2*A*b
^3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*B + 255*a^3*b^2*B + 3705*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(b + a*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^
2*Tan[(c + d*x)/2]))/(3465*b^3*d*(b + a*Cos[c + d*x])^3*Sqrt[Sec[(c + d*x)/2]^2]*Sec[c + d*x]^(5/2)*(-(a*Sqrt[
Cos[(c + d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]*(2*(a + b)*(-110*a^4*A*b + 3069*a^2*A*b^3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*
B + 255*a^3*b^2*B + 3705*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1
+ Cos[c + d*x]))]*EllipticE[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (a - b)/(a + b)] - 2*b*(a + b)*(40*a^4*B - 10*a^3*b*(11*
A + 3*B) + 15*a^2*b^2*(121*A + 19*B) + 3*b^4*(539*A + 225*B) + 6*a*b^3*(209*A + 505*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 +
Cos[c + d*x])]*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (a
- b)/(a + b)] + (-110*a^4*A*b + 3069*a^2*A*b^3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*B + 255*a^3*b^2*B + 3705*a*b^4*B)*Cos[c
+ d*x]*(b + a*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2]))/(3465*b^3*(b + a*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Se
c[(c + d*x)/2]^2]) + (Sqrt[Cos[(c + d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]]*Tan[(c + d*x)/2]*(2*(a + b)*(-110*a^4*A*b + 3069*a
^2*A*b^3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*B + 255*a^3*b^2*B + 3705*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(b
+ a*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticE[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (a - b)/(a + b)] - 2*b*(a
+ b)*(40*a^4*B - 10*a^3*b*(11*A + 3*B) + 15*a^2*b^2*(121*A + 19*B) + 3*b^4*(539*A + 225*B) + 6*a*b^3*(209*A +
505*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*Ellipti
cF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (a - b)/(a + b)] + (-110*a^4*A*b + 3069*a^2*A*b^3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*B + 255*a
^3*b^2*B + 3705*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(b + a*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2]))/(3465*b^3*Sqr
t[b + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[(c + d*x)/2]^2]) - (2*Sqrt[Cos[(c + d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]]*(((-110*a^4*A*b + 3
069*a^2*A*b^3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*B + 255*a^3*b^2*B + 3705*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(b + a*Cos[c + d*x])*Sec[(c
+ d*x)/2]^4)/2 + ((a + b)*(-110*a^4*A*b + 3069*a^2*A*b^3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*B + 255*a^3*b^2*B + 3705*a*b^4
*B)*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticE[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (a - b)/(a + b
)]*((Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(1 + Cos[c + d*x])^2 - Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])))/Sqrt[Cos[c + d*x]/(1
+ Cos[c + d*x])] - (b*(a + b)*(40*a^4*B - 10*a^3*b*(11*A + 3*B) + 15*a^2*b^2*(121*A + 19*B) + 3*b^4*(539*A + 2
25*B) + 6*a*b^3*(209*A + 505*B))*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticF[ArcSin[Tan[
(c + d*x)/2]], (a - b)/(a + b)]*((Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(1 + Cos[c + d*x])^2 - Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c +
d*x])))/Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])] + ((a + b)*(-110*a^4*A*b + 3069*a^2*A*b^3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*
B + 255*a^3*b^2*B + 3705*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*EllipticE[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (a
- b)/(a + b)]*(-((a*Sin[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))) + ((b + a*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/((a + b
)*(1 + Cos[c + d*x])^2)))/Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))] - (b*(a + b)*(40*a^4*B - 10*
a^3*b*(11*A + 3*B) + 15*a^2*b^2*(121*A + 19*B) + 3*b^4*(539*A + 225*B) + 6*a*b^3*(209*A + 505*B))*Sqrt[Cos[c +
d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*EllipticF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (a - b)/(a + b)]*(-((a*Sin[c + d*x])/((a + b)*(1
+ Cos[c + d*x]))) + ((b + a*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x])^2)))/Sqrt[(b + a*Cos[c +
d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))] - a*(-110*a^4*A*b + 3069*a^2*A*b^3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*B + 255*a^3*b^2*B
+ 3705*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2*Sin[c + d*x]*Tan[(c + d*x)/2] - (-110*a^4*A*b + 3069*a^2*A*b^
3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*B + 255*a^3*b^2*B + 3705*a*b^4*B)*(b + a*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Sin[c + d*x]
*Tan[(c + d*x)/2] + (-110*a^4*A*b + 3069*a^2*A*b^3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*B + 255*a^3*b^2*B + 3705*a*b^4*B)*Cos
[c + d*x]*(b + a*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2]^2 - (b*(a + b)*(40*a^4*B - 10*a^3*b*(11*A +
3*B) + 15*a^2*b^2*(121*A + 19*B) + 3*b^4*(539*A + 225*B) + 6*a*b^3*(209*A + 505*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Co
s[c + d*x])]*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(Sqrt[1 - Tan[(c + d*
x)/2]^2]*Sqrt[1 - ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]) + ((a + b)*(-110*a^4*A*b + 3069*a^2*A*b^3 + 1617*A*b^
5 + 40*a^5*B + 255*a^3*b^2*B + 3705*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/(
(a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*Sec[(c + d*x)/2]^2*Sqrt[1 - ((a - b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)])/Sqrt[1 - Tan[(
c + d*x)/2]^2]))/(3465*b^3*Sqrt[b + a*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[(c + d*x)/2]^2]) - ((2*(a + b)*(-110*a^4*A*b + 30
69*a^2*A*b^3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*B + 255*a^3*b^2*B + 3705*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqr
t[(b + a*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticE[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (a - b)/(a + b)] - 2*
b*(a + b)*(40*a^4*B - 10*a^3*b*(11*A + 3*B) + 15*a^2*b^2*(121*A + 19*B) + 3*b^4*(539*A + 225*B) + 6*a*b^3*(209
*A + 505*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(b + a*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*Ell
ipticF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (a - b)/(a + b)] + (-110*a^4*A*b + 3069*a^2*A*b^3 + 1617*A*b^5 + 40*a^5*B + 2
55*a^3*b^2*B + 3705*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(b + a*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2])*(-(Cos[(c
+ d*x)/2]*Sec[c + d*x]*Sin[(c + d*x)/2]) + Cos[(c + d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]))/(3465*b^3*Sqrt[b + a
*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[(c + d*x)/2]^2]*Sqrt[Cos[(c + d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]])))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 2.49, size = 5368, normalized size = 9.5 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sec(d*x+c)^3*(a+b*sec(d*x+c))^(5/2)*(A+B*sec(d*x+c)),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(d*x+c)^3*(a+b*sec(d*x+c))^(5/2)*(A+B*sec(d*x+c)),x, algorithm="maxima")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left ({\left (B b^{2} \sec \left (d x + c\right )^{6} + A a^{2} \sec \left (d x + c\right )^{3} +{\left (2 \, B a b + A b^{2}\right )} \sec \left (d x + c\right )^{5} +{\left (B a^{2} + 2 \, A a b\right )} \sec \left (d x + c\right )^{4}\right )} \sqrt{b \sec \left (d x + c\right ) + a}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(d*x+c)^3*(a+b*sec(d*x+c))^(5/2)*(A+B*sec(d*x+c)),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((B*b^2*sec(d*x + c)^6 + A*a^2*sec(d*x + c)^3 + (2*B*a*b + A*b^2)*sec(d*x + c)^5 + (B*a^2 + 2*A*a*b)*s
ec(d*x + c)^4)*sqrt(b*sec(d*x + c) + a), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(d*x+c)**3*(a+b*sec(d*x+c))**(5/2)*(A+B*sec(d*x+c)),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (B \sec \left (d x + c\right ) + A\right )}{\left (b \sec \left (d x + c\right ) + a\right )}^{\frac{5}{2}} \sec \left (d x + c\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(d*x+c)^3*(a+b*sec(d*x+c))^(5/2)*(A+B*sec(d*x+c)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((B*sec(d*x + c) + A)*(b*sec(d*x + c) + a)^(5/2)*sec(d*x + c)^3, x)